重力計算再考

CUDA Example にも乗っている重力系の計算だが、

\sqrt{x^{2} + y^{2}}

の計算では二乗した時にオーバーフローが発生する可能性がある。CPU を使う計算では、

\sqrt{x^{2} + y^{2}} = | x | \sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} x > y, | y | \sqrt{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} y > x

と場合分けして計算するのが常套だったらしいが、CUDA のようなベクトル演算では場合分けは著しくパフォーマンスを落としてしまう。

そこで、２次元限定ではあるが、以下のように式を変形してみた。

{| x |}^{2} + {| y |}^{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} (| x | + | y |) [1 + {(\frac{| x | - | y |}{| x | + | y |})}^{2}]

{(\frac{| x | - | y |}{| x | + | y |})}^{2}

は 0 以上、1以下なので、二乗計算でも発散は回避できる。