35年ぶりに積分計算した

仕事が暇になったので、35年ぶりに物理の本を読んでいます。教科書はNumerical Relativity: Starting from Scratch (cambridge.org)(Baumgarte, Shapiro; 2021) です。この本、最後の方にpythonスクリプトが書いてありますが、そこに至るまでの物理計算がちょっとしんどいです。（とは言うものの、まだ読了していない）

例えば例題1.8で新しい座標系での測地線を計算していますが、以下の方程式を Z について解きます。(ZはRの関数だとします。）

$1+{\left(z^{\mathrm{‘}}\right)}^2={\left(\frac{R}{R–M}\right)}^2$

$Z=\int dR\sqrt{{\left(\frac{R}{R–M}\right)}^2–1}$

$=\int dR\sqrt{\frac{2\frac{R}{M}–1}{{(\frac{R}{M}–1)}^2}}/math>$

$\frac{dR}{\frac{R}{M}–1}=dx$ と置いて

$Z=\int dx\sqrt{2e^{\frac{x}{M}}+1}$

さらに $x=My$ と置いて

$Z=M\int dy\sqrt{2e^y+1}$

${\rho }^2=2e^y+1$　とさらに置換すると、

$Z=M\int \frac{\rho d\rho }{e^y}\rho =2M\int d\rho \frac{{\rho }^2–1+1}{{\rho }^2–1}$

$=2M[\rho +\frac{1}{2}\int \frac{d\rho }{\rho –1}–\frac{1}{2}\int \frac{d\rho }{\rho +1}]$

$=2M\rho +Mln\frac{\rho –1}{\rho +1}$

$=2M\sqrt{2\frac{R}{M}–1}+ln\frac{\sqrt{2\frac{R}{M}–1}}{\sqrt{2\frac{R}{M}+1}}$

ここまで計算するのに2日かかりました…。現役でないと積分計算は辛い。