二次元cavity問題のMAC法による数値解法(1) – ソフトウェア技術者(ときどき科学)のつぶやき

昔からどうしてもよくわからない＆旨く解けない問題に二次元cavity問題の数値解法があります。

二次元 cavity 問題とは、以下のような断面の容器の中を流れる流体の流速・圧力を求める問題です。

ここで、AB, BC, DA 上は粘着条件から u, v をそれぞれ点 x, y におけるX方向、Y方向の流速として、

$u = 0$ , $v = 0$

一方、CD 上では速さ u0 の流速があるとして、

$u = u_{0}$ , $v = 0$

とします。ここからは流体解析Ⅰの受け売りです。計算格子として、いわいる「スタガード格子」を採用します。(u, v, p) は互い違いの、それぞれ異なる位置で定義されます。

基礎方程式となる Navier-Stokes 方程式は非圧縮とすると二階微分が出現することから正方形 ABCDの「外側」の物理量がないと計算できません。辺AB, BC, DA上では、u, v は境界上では0なので、u, v に関する時間発展の式から (V = (u, v))

$\nabla p = = \frac{Δ V}{Re}$

辺CD上では

$\nabla p = - u_{0} \frac{\partial}{\partial x} u + \frac{Δ V}{Re}$

となるが、辺CD上では u=u0なので、辺AB, BC, DA と同じ式に帰着します。

「外側」に関しては辺DAを例に考えると、u(w) = 0 なので、v(w) = 0 を考慮して、

$u_{a} = u_{b}$ , $v_{a = - v_{b}}$ , $p^{‘ = p + \frac{1}{Re} \frac{u_{c} - 2 u_{b}}{d}}$

辺CD上では u(w) = u0 なので、ua = u0 – ub とします。

MAC法では、Navier-Stokes 方程式の圧力項について、まず右辺に u,v のみを含む poisson 方程式を導出し、圧力を解いた後で u, v の時間発展を求めます。基礎方程式は以下になります。

$D = \nabla ・ V$

$Δ p = - \nabla ・ {(V ・ \nabla) V} + D \frac{1}{Δ t}$

$\frac{\partial V}{\partial t} + (V ・ \nabla) V = - \nabla p + \frac{1}{Re} Δ V$

ここまで書いたところでどっと疲れたので、続きはまたあとで。